Antalya Akseki'de doğdu. Antalya İmam-Hatip Okulu (1966) ve Konya Yüksek İslam Enstitüsü'nden (1970) mezun oldu. Erzurum İmam-Hatip Okulu'ndaki öğretmenlik ve yöneticilik görevlerinin ardından 1975'te Erzurum Yüksek İslam Enstitüsü'nde öğretim görevlisi oldu. 1978'de Erzurum Atatürk Üniversitesi İslamî İlimler Fakültesi'nde doktoraya başladı. 1981'de 12 Eylül darbe yönetimi tarafından İstanbul Yüksek İslam Enstitüsü'ne gönderildi. İstanbul Yüksek İslam Enstitüsü'nün Marmara Üniversitesi İlahiyat Fakültesi'ne dönüşmesinden (1982) sonra fakültenin Hadis Anabilim Dalı'nda öğretim üyesi olarak görev aldı. 1984'te Marmara Üniversitesi'nde doktorasını tamamladı. 1997 yılında doçent, 2003'te profesör oldu.
2007-2011 yılları arasında Marmara Üniversitesi İlahiyat Fakültesi'nin dekanlığını yaptı. Marmara Üniversitesi Senatosu ve Marmara Üniversitesi Yönetim Kurulu üyeliklerinde bulundu. Yükseköğretim Kurulu İlahiyat Millî Komitesi üyeliği ve başkanlığı yaptı. 2011-2014 yılları arasında Diyanet İşleri Başkanlığı Din İşleri Yüksek Kurulu başkanı oldu ve bu görevinde iken emekliye ayrıldı (2014). Aynı yıl getirildiği Türkiye Diyanet Vakfı İslam Araştırmaları Merkezi (İSAM) başkanlığı görevi Eylül 2022 tarihine kadar sürdü. 2012 yılında Türkiye Bilimler Akademisi (TÜBA) aslî üyesi oldu. 22 Kasım 2022 tarihinde İstanbul'da vefat etti ve Fatih Camii haziresine defnedildi.
Türkiye Yazarlar Birliği 1991 yılında Sevgi Medeniyeti adlı kitabını "fikir" dalında ödüle layık gördü. 2016'da aynı kuruluş tarafından kendisine Üstün Hizmet ödülü verildi.
Raşit Küçük'ün başlıca eserleri şunlardır: Siyer (İsmail Yiğit ile birlikte, İmam-Hatip Liseleri için ders kitabı, Ankara 1987, 1997), Sevgi Medeniyeti (Ankara 1991; İstanbul 2007), Türk Millî Eğitiminde Din Kültürü ve Ahlâk Bilgisi Dersleri (Mustafa Öcal ile birlikte, İstanbul 1993), Peygamberimizden Hayat Ölçüleri: Riyâzü's-Sâlihîn Tercüme ve Şerhi M. Yaşar Kandemir-İsmail L. Çakan ile birlikte, I-VIII, İstanbul 1997, 2017) ve Hazret-i Muhammed (s.a.v.): Siyer-i Nebî (İsmail Yiğit ile birlikte, İstanbul 2006, 2015).
Raşit Küçük, örgün eğitimin yanında yaygın eğitime de büyük önem verdi. Bu alanda vaaz, sohbet, konferans, seminer vb. etkinlikler başta olmak üzere çok yönlü faaliyetler gerçekleştirdi.
Büyük bir kısmı eğitim alanında faaliyet gösteren, İlim Yayma Cemiyeti ve Hakyol Vakfı gibi muhtelif vakıf ve derneğin kuruluşunda, mütevelli heyetinde, yönetim kurulunda ve eğitim komisyonlarında görev aldı.
İlmî çalışmaları hadis ve siyer alanlarında yoğunlaşan Raşit Küçük ders kitapları başta olmak üzere diğer yayınlarıyla da dini eğitime önemli katkılarda bulunmuştur. Eğitimin bir bütün olduğunu ilk, orta, lise ve üniversitenin birbirini tamamlaması gerektiğini söyleyen Küçük bir taraftan ilmî geleneğin yaşatılmasını, diğer taraftan da çağın imkânları değerlendirilerek geçmişin şekilciliğini kutsamak yerine, değerlerini yaşatmanın önemini vurgulamıştır. Dekanlığı ve Millî İlahiyat Komitesi başkanlığı döneminde İlahiyat fakülteleri arasındaki iletişime ve ilişkilere çok önem vermiş hazırlık sınıfı uygulamasına geri dönülmesi, fakülte müfredatı ve programlarının geliştirilmesi, yüzde 30 Arapça eğitimli İlahiyat Fakültesi programının hazırlanması gibi adımların atılmasına öncülük etmiştir. Onun ilahiyat alanında önemsediği eğitim hizmetlerinden biri de kuruluşuna ciddi katkılarda bulunduğu Hakyol Vakfı Hadis Enstitüsü'dür.
Raşit Küçük, öğrencilik yıllarından itibaren eğitim ve basın yayın arasındaki kitap, dergi, gazete, radyo ve televizyon yayıncılığına da önem verdi. Konya Yüksek İslam Enstitüsü'nde okurken arkadaşlarıyla Yeni Ümit Dergisi'ni çıkardı, Konya'da çıkan Hamle Gazetesi'nde çalıştı. İstanbul'a gönderildikten sonra da bu alandaki çalışmalarını sürdürdü. İstanbul'da İslâm, Kadın ve Aile, İlim Sanat dergilerine yazar ve idareci olarak katkıda bulundu.
Marmara Üniversitesi İlahiyat Fakültesi Vakfı'nın yayın faaliyetlerine sağladığı katkıların yanında İslam Araştırmaları Merkezi'nde de birçok projenin gerçekleşmesine öncülük etti. Bunlar Erken Klasik Dönem Projesi, İkinci Klasik Dönem Projesi, Temel İslam Ansiklopedisi, Temel Kültür Dizisi, Ebussuûd Tefsiri gibi bazı klasik eserlerin basımı, İSAM Tenkitli Neşir Kılavuzu, Uluslararası Osmanlı Türkçesi Tenkitli Neşir Kursu, İslam Ansiklopedisi 2. Edisyon Projesi, basımı daha önce tamamlanan Antik Çağdan 21. Yüzyıla Büyük İstanbul Tarihi Projesi (Türkçe ve İngilizce) ve İstanbul Kadı Sicilleri Projesi'nin son altmış cildinin dijitale aktarılması olarak sayılabilir.
Küçük'ün eğitim ve toplum hizmetlerinde sevgi anlayışının özel bir yeri vardır. Doktora tez konusu olarak "Kur'an ve Sünnette Sevgi, Özellikle Allah Sevgisi" konusunu seçmesi, tezini yayımlarken kitabına Sevgi Medeniyeti adını koyması bu anlayışının ifadesi olmuştur.
Raşit Küçük, eğitimin ilmî, fikrî ve metodolojik yönleri kadar fizikî imkânlarıyla da yakından ilgilenmiş, Marmara Üniversitesi İlahiyat Fakültesi'nin en iyi imkânlarla yenilenmesi için gerekli girişimlerde bulunmuş ve bugünkü külliyenin ortaya çıkmasında önemli rol oynamıştır. "Hocalık en temel vazifedir" anlayışıyla hareket etmiş, öğretim üyeliği yanında İlmî, fikrî, idarî, çevreler nezdinde resmî görevine ek olarak sosyal, siyasal ve kurumsal faaliyetlerini de sürdürerek hayatın hep içinde olmuştur. Toplum hizmetlerine, toplumun eğitim yoluyla gelişimine, bu hususta birleştirici ve kucaklayıcı olmaya ehemmiyet vermiştir.
Hayatı boyunca öğrencileri başta olmak üzere muhataplarına karşı "Kolaylaştırınız, zorlaştırmayınız. Müjdeleyiniz, korkutmayınız" hadisi şerifini düstur edindiğini belirten Raşit Küçük "Öğrenen" ve "öğreten" olmaya çok değer vermiş öğrencilerine karşı hassasiyeti, ders anlatımı, üslubu ile talebeleri ve meslektaşları arasında daima saygı görmüştür. Bu anlayışında Mehmet Zahit Kotku ve Esad Coşan gibi hocalarından etkilendiğini ifade etmiştir. Adı doğum yeri olan Antalya'daki bir İmam-Hatip Lisesi'ne ve İstanbul Üsküdar'da bir Gençlik ve Spor Merkezi'ne verilmiştir.
